Geometria Simplética

Código:

M4040

Sigla:

M4040

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:M	7	Plano Oficial do ano letivo 2021	2	-	6	48	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Os objetivos da disciplina são o estudo de geometria simplética em espaços vetoriais e em variedades diferenciáveis. 
Para além do domínio dos conceitos básicos nesta área, pretende-se que os estudantes reconheçam as principais semelhanças (e diferenças) entre a geometria simplética e a geometria Riemanniana, bem como a importância da geometria simplética no estudo de sistemas mecânicos conservativos. 

Resultados de aprendizagem e competências

Para além do domínio dos conceitos fundamentais na área de geometria simplética, pretende-se que os estudantes reconheçam as principais semelhanças (e diferenças) entre a geometria simplética e a geometria Riemanniana, bem como a importância da geometria simplética no estudo de sistemas mecânicos conservativos. 

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Licenciatura com forte componente matemática. É recomendável o conhecimento prévio de noções de variedades diferenciáveis.

Programa

Geometria simplética:

- em espaços vetoriais: existência de uma base simplética, o grupo de simplectomorfismos, teorema de Gromov da não contração, largura simplética linear; 

- em variedades diferenciáveis: campos simpléticos e Hamiltonianos, teorema de Darboux-Weinstein, estrutura no fibrado cotangente.

Um dos seguintes tópicos: 

- Ações Hamiltonianas: grupos e álgebras de Lie, ações simpléticas e Hamiltonianas, aplicação momento. 

- Capacidades simpléticas: teorema de Gromov, largura de Gromov, capacidade de Hofer e Zehnder

Bibliografia Obrigatória

Mcduff Dusa; Introduction to symplectic topology. ISBN: 0-19-851177-9
Ralph Abraham; Foundations of mechanics. ISBN: 0-8053-0102-X
Libermann Paulette; Symplectic geometry and analytical mechanics

Bibliografia Complementar

Hofer Helmut; Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics. ISBN: 3-7643-5066-0

Observações Bibliográficas

Serão disponibilizados os slides usados nas aulas.

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas de exposição teóricas, complementadas com exemplos de aplicação e com propostas de exercícios a serem resolvidos pelos estudantes.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	70,00
Trabalho escrito	30,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	112,00
Frequência das aulas	48,00
Trabalho escrito	2,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Para obter frequência os alunos deverão assistir a pelo menos dois terços das aulas previstas.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final será obtida somando: 
1. os valores obtidos nos exercícios propostos durante o semestre (que valem 6 valores) 
2. a classificação obtida no 1º teste (valendo 5 valores) 
3. a classificação obtida no 2º teste (valendo 9 valores)

Na época de recurso a classificação final será a obtida num exame valendo 20 valores.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Estudantes que se encontrem abrangidos por avaliação especial terão a classificação obtida num exame valendo 20 valores.

Melhoria de classificação

Estudantes que pretendam melhorar a sua classificação terão a classificação obtida um exame valendo 20 valores.