Teoria de Representação

Código:

M4089

Sigla:

M4089

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:M	9	Plano Oficial do ano letivo 2021	1	-	6	48	162

Língua de trabalho

Português e inglês

Objetivos

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve dominar os conceitos e resultados básicos de teoria dos grupos e álgebras de Lie e das suas representações, quer a nível da sua concretização nos exemplos clássicos destas estruturas, quer numa perspetiva geral e abstrata. Pretende-se paralelamente que a frequência desta unidade curricular contribua para o desenvolvimento de aptidões e competências de raciocínio abstrato e de domínio do método matemático.

Resultados de aprendizagem e competências

Familiaridade com os resultados e técnicas principais da teoria básica dos grupos e álgebras de Lie e suas representações, e capacidade de procurar na literatura resultados mais avançados. O estudante deve ser capaz de reconhecer os contextos nos quais estes conceitos são úteis e saber aplicá-los nestas situações.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos: o conteúdo típico dado em dois semestres de álgebra linear, um semestre de teoria de grupos e um semestre de geometria diferencial ou variedades diferenciáveis.

Programa

Esta disciplina UC é uma introdução à teoria dos grupos e álgebras de Lie, com ênfase na classificação das álgebras de Lie semi-simples e das suas representações. Serão abordados resultados clássicos importantes bem como linhas de investigação mais recente (havendo tempo):

Grupos topológicos e grupos de Lie. A álgebras de Lie de um grupo de Lie. Representações das álgebras de Lie. Grupo de Weyl. Forma de Killing. Tipos especiais de álgebras de Lie (semi-simples, nilpotentes e resolúveis). Classificação das álgebras de Lie semi-simples e das suas representações. Álgebras envolventes e grupos quânticos. Cohomologia de álgebras de Lie.

Bibliografia Obrigatória

Humphreys James E.; Introduction to Lie algebras and representation theory. ISBN: 0-387-90052-7
Erdmann Karin; Introduction to Lie algebras. ISBN: 978-1-84628-040-5
Hall Brian C.; Lie groups, Lie algebras, and representations. ISBN: 0-387-40122-9
Samuel Lopes; Teoria de Representação, 2020 (notas disponibilizadas aos estudantes)

Bibliografia Complementar

Alexander Kirillov, Jr.; An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge University Press, 2008. ISBN: 978-0-521-88969-8
Serre Jean-Pierre; Lie algebras and Lie groups
Fulton William; Representation theory. ISBN: 0-387-97495-4
Xiaoping Xu; Representations of Lie Algebras and Partial Differential Equations, 2016 (Monografia disponível em http://arxiv.org/abs/1601.07646v1)
Santos José Carlos; Grupos e álgebras de Lie. ISBN: 978-989-8481-04-7

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto são teórico-práticas e nestas serão apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Também serão resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. Serão disponibilizados materiais de apoio na página da UC. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Software

Latex
Sagemath

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Álgebra

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Trabalho escrito	40,00
Exame	40,00
Apresentação/discussão de um trabalho científico	20,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Todos os estudantes inscritos na disciplina obtêm a frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação é feita mediante a média ponderada dos seguintes 3 parâmetros e respetivos pesos:
- exame final (40%);
- elaboração de um trabalho escrito sobre um tema relacionado com a Teoria de Representação e/ou suas aplicações, a acordar com o docente da disciplina, e apresentação oral do mesmo (20%);
- resolução de exercícios e problemas de resolução individua assíncrona (40%);

Dos itens referidos acima, apenas o exame final pode ser repetido para efeitos de aprovação em época de recurso ou melhoria de classificação.

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Observações

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.

Júri da disciplina:
Samuel António de Sousa Dias Lopes