Complementos de Geometria

Código:

M3004

Sigla:

M3004

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2020/2021 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	1	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	1	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:M	51	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Alargar o âmbito do estudo de geometria para geometrias não euclidianas, nomeadamente para as geometrias esférica, hiperbólica, afim e projetiva, usando sobretudo, mas não exclusivamente, métodos da geometria análitica.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar a UC o estudante deve:

(1) Conhecer propriedades e resultados básicos das geometrias esférica, hiperbólica, afim e projetiva e compreender a relação entre elas.

(2) Compreender as semelhanças e diferenças entre as geometrias esférica, hiperbólica e euclidiana, e apreciar a relevância do postulado de paralelas de Euclides.

(3) Compreender a ideia de estudar uma geometria através das suas transformações e ser capaz de o fazer, em particular usando as ferramentas da álgebra linear.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos: Noções básicas de geometria euclidiana e álgebra linear.

Programa

Geometria esférica. Triângulos esféricos: fórmula do co-seno esférico, área. O grupo O(3) como o grupo de isometrias da geometria esférica. Geometria hiperbólica: modelo do hiperbolóide. Triângulos hiperbólicos: fórmula do co-seno hiperbólico, área. Isometrias do plano hiperbólico como transformações de Lorentz. Modelos do semi-plano superior e do disco de Poincaré. Isometrias do plano hiperbólico como transformações de Möbius; classificação. Discussão do postulado de paralelas de Euclides e a sua independência. Geometria afim: coordenadas afins, transformações afins. Geometria projetiva: espaço projetivo, coordenadas homogéneas e transformações projetivas. Completamento projetivo do plano afim. O teorema fundamental da geometria projetiva. Transformações projetivas da reta projetiva e a razão dupla. Teoremas de Desargues e Pappus. Dualidade. Cónicas. Geometria euclidiana, elíptica e hiperbólica como subgeometrias da geometria projetiva. Poderão ser abordados tópicos adicionais.

Bibliografia Obrigatória

Miles Reid and Balazs Szendroi; Geometry and Topology, Cambridge University Press, 2005. ISBN: 978-0-521-61325-5
John Stillwell; Geometry of surfaces. ISBN: 0-387-97743-0

Bibliografia Complementar

Birger Iversen; Hyperbolic geometry. ISBN: 0-521-43528-5
V. V. Nikulin; Geometries and groups

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição e discussão da matéria; discussões de questões e problemas; resolução de exercícios.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Sem condições

Fórmula de cálculo da classificação final

Haverá dois testes ao longo do semestre. A nota final é a média aritmética da nota dos testes.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Por exame oral e/ou escrita.

Melhoria de classificação

O exame da época de recurso terá partes correspondentes a cada um dos dois testes, sendo permitido a melhoria da nota de cada teste individualmente. Melhoria de nota do ano letivo anterior deve ser feita através da realização de ambos os testes ou, em alternativa, do exame de recurso.