Métodos Matemáticos da Física

Código:

F4025

Sigla:

F4025

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Física

Ocorrência: 2019/2020 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Física e Astronomia
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:A_ASTR	0	Plano de Estudos oficial desde_2013/14	1	-	6	42	162
			2
M:F	6	Plano de Estudos Oficial	1	-	6	42	162
			2

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

1. Conhecer alguns métodos matemáticos usados em Física, nomeadamente, função complexa de variável complexa e teoria de grupos discretos e contínuos.


2. Analisar um conjunto de problemas de várias áreas da Física na perspetiva de aplicação dos métodos matemáticos abordados.


3. Modelizar problemas de física.

 

Resultados de aprendizagem e competências

Pretende-se que finalizado o curso o aluno possa aplicar quer teorica quer praticamente os variados, e frequentemente avançados, conhecimentos ministrados.Considera-se que sem estas ferramente essenciais dificilmente se possa progredir em temas de Física e Matemática mais avançados e exigentes no rigor.Foram selecionados variados livros e notas pessoais que julgamos serem muito úteis.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Sólidos conhecimentos de Análise Matemática e Física intermédia com o objetivo de ,com segurança, se avançar para tópicos mais avançados.

Programa

Parte 1: Funções complexas de variável complexa

 

Variável complexa. Revisão de operações com números e funções de variável complexa. Diferenciação no plano complexo. Funções analíticas e condição de Cauchy-Riemann. Série de potências. Cálculo integral complexo. Teorema de Cauchy. Derivadas de uma função regular. Teorema de Taylor. Teorema de Liouville. Teorema e expansão de Laurent. Zeros e singularidades. Funções racionais. Continuação analítica no plano complexo. Zeros de funções meromorfas.  Teorema de Roucheé e princípio do modelo máximo. Cálculo de resíduos e suas aplicações ao cálculo de integrais com limites infinitos. Expansão em série de funções meromorfas. Soma de séries. Representação conforme. Transformações isogonais e conformes.

Funções harmónicas. Transformação bilinear e inversão geométrica. Pontos críticos e invariância do produto cruzado. Transformação de Möbius. Algumas transformações especiais. Transformação de Schwarz-Christoffel. Resolução do problema de Dirichlet no interior do círculo unitário e de Neumann no semi-eio superior. Aplicações à Dinâmica de Fluidos, à Eletrostática. Funções de Green avançadas e retardadas. Transformada de Fourier e afins. Função espectral e relações de Kramers-Kronig. Estudo de funções especiais isando o cálculo integral complexo. Outros estudos alternativos.

 

 

Parte 2: Teoria de grupos e aplicações em problemas de Física

 

2.1 Grupos discretos e aplicações em Física de Matéria Condensada

 

2.2.1 Introdução. Natureza do problema e papel da simetria em Física. Noções básicas de grupos e propriedades. Teoria das representações e teoremas básicos. Caracter de uma representação. Representações irredutíveis e decomposição de uma representação redutível numa soma direta de representações irredutíveis. Funções de base de representações irredutíveis.

 

2.2.2. Aplicações: levantamento de degenerescências de orbitais atómicas devido ao campo cristalino num cristal; vibrações moleculares e atividade ótica; grupos espaciais e aplicações ao estudo de fonões.

 

2.2 Grupos e álgebras de Lie e aplicações em Física de Partículas

 

2.2.1 Definições e propriedades gerais

Variedade; campo vectorial; espaço e mapa tangente; sistemas de coordenadas; translacções à esquerda; comutador e álgebra de Lie; constantes de estrutura; curvas integrais; mapa exponencial; representações da álgebra de Lie; grupos matriciais; representação adjunta; sub-álgebras; álgebras simples e semi-simples; forma de Killing; álgebras solúveis; operador Casimir; base de Weyl-Cartan; teorema de Cartan; raízes e pesos.

 

2.2.2 Grupos SU(N) em Física de Partículas

Definição e propriedades fundamentais; relação com SO(2N); álgebra de Lie; sub-álgebra de Cartan; representações tensoriais; representações irredutíveis; quadros de Young e produtos tensoriais; SU(2): spin e isospin; SU(3) e o modelo de quarks; introdução ao Modelo Padrão.

 

Tópicos avançados (opcional): mecanismo de Higgs; teorias de grande unificação

Bibliografia Obrigatória

Phillips Edgar Giraldus; Functions of a complex variable. ISBN: 0-582-44286-9
Spiegel; Complex variables
M. S. Dresselhaus; Group theory. ISBN: 978-3-540-32897-1
James E. Humphreys; Introduction to Lie algebras and representation theory. ISBN: 0-387-90052-7

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

O ensino será o tradicional,apoiado em livros das especialidades tratadas no curso.
Os alunos terão à sua disposição um conjunto de folhas de problemas, como complemento da teoria dada.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	90,00
Participação presencial	10,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Frequência das aulas	100,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

De acordo com as regras da FCUP.

Fórmula de cálculo da classificação final

90% do resultado do exame ou 2  frequências (facultativas) a realizar mais 10% de participação em atividades relevantes.Uma prova final oral pode ser pedida para valorização da classificação do estudante.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

De acordo com as regras da FCUP.

Melhoria de classificação

Através de exame final.