Introdução às Aplicações da Matemática

Código:

M1027

Sigla:

M1027

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2019/2020 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=481
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:EG	2	Plano estudos a partir do ano letivo 2019	3	-	6	56	162
L:M	83	Plano de Estudos Oficial	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Aplicação de conceitos matemáticos, nomeadamente os estudados em outras disciplinas do primeiro ano, ao tratamento analítico e numérico de modelos Matemáticos em Física, Biologia, Ecologia, Economia, Medicina e outros ramos do conhecimento.  

Modelos com relações de recorrência

Para estes modelos espera-se que o estudante trate modelos em que a variável independente é o tempo, variando em intervalos uniformemente espaçados com uma ou mais variáveis dependentes, ou seja, modelos dados por uma relação de recorrência.
Espera-se que o estudante use o programa wxMaxima para fazer os cálculos e representá-los graficamente e que saiba interpretar o resultado dos cálculos de acordo com o modelo.

Mais especificamente, espera-se que o estudante trate, do ponto de vista matemático, os seguintes conceitos, ligados a uma relação de recorrência:
órbita de um ponto; ponto fixo da relação; ponto fixo atrator; interpretação do comportamento limite de uma órbita.

Para o caso de uma só variável dependente, espera-se que o estudante represente geométricamente a órbita usando a teia de aranha e se a relação de recorrência for dada por uma função afim espera-se que o estudante conheça a forma da solução geral do sistema dinâmico e que saiba usá-la para obter conclusões sobre as órbitas.

Para uma relação de recorrência com várias variáveis dependentes e dada por uma função afim, espera-se que o estudante use os valores e vetores próprios para obter informação sobre a dinâmica.

No tratamento de modelos específicos espera-se que o estudante conheça e saiba tratar modelos para as seguintes situações: juros compostos e suas aplicações a problemas de finanças; populações estratificadas; propagação de doenças infecciosas.
Para outras aplicações dadas, o estudante deve ser capaz de formular um modelo afim para uma situação concreta e de usá-lo para tirar conclusões.
Para outros modelos não afins, o estudante deve ser capaz de analisar um modelo dado, usando o wxMaxima.


Ajuste de curvas

Espera-se que o estudante estime parâmetros que ajustem um modelo em uma classe a um conjunto de dados e analise o erro cometido. Mais especificamente espera-se que: 

A) dada uma expressão da forma $Y=f_{a,b}(X)$, o estudante encontre mudanças das variáveis $X$ e/ou $Y$ que transformem $Y=f_{a,b}(X)$ em uma relação afim.

Para uma tabela de valores com um conjunto de dados espera-se que o estudante:

B) encontre graficamente uma relação afim que seja um modelo para os dados;

C) use o método dos mínimos quadrados para encontrar uma relação afim que seja um modelo para os dados;

D) use conjuntamente os métodos em A) e B) ou os métodos em A) e C) para obter uma relação $Y=f_{a,b}(X)$ que seja um modelo para os dados

E) estime o resíduo de um modelo em relação aos dados.


Modelos com sistemas dinâmicos com tempo contínuo

Espera-se que o estudante trate modelos em que a variável independente é o tempo, variando continuamente e em que há uma só a variável dependente, ou seja, modelos dados por uma
equação diferencial autônoma de primeira ordem $x'=F(x)$.
Espera-se que o estudante descreva as propriedades geométricas da solução a partir do gráfico de $F(x)$ e da condição inicial, que encontre os pontos de equilíbrio e discuta se são ou não atratores.
Também se espera que o estudante faça o diagrama de fase indicando as concavidades da solução.
No caso particular em que $F$ é uma função afim $F(x)=ax+b$ espera-se que o estudante encontre a forma explícita da solução para uma dada condição inicial.


Modelos com curvas de nível

Espera-se que o estudante trate modelos dados por sistemas conservativos, ou seja dados uma equação diferencial autônoma de segunda ordem $x"=F(x)$.
Espera-se o estudante obtenha as expressões da energia cinética e da energia potencial e as use para fazer o diagrama de fase no plano $(x,x')$ indicando a orientação das curvas dada pelas soluções.
Ou seja, espera-se
que o estudante descreva as propriedades geométricas da solução a partir do gráfico de $F(x)$ e da condição inicial $(x(t_0),x'(t_0))$, que encontre os pontos de equilíbrio e descreva as curvas de fase em torno deles.
Também se espera que o estudante trate o modelo SIR de equações diferenciais ordinárias para a propagação de doenças contagiosas conferentes de imunidade usando curvas de nível, descrevendo as propriedades geométricas das soluções, calculando máximos e comportamento limite  e interpretando os resultados em termos epidemiológicos.

Resultados de aprendizagem e competências

Pretende-se que o aluno seja capaz de traduzir os problemas propostos no âmbito da disciplina em linguagem matemática, classificá-los, propor um modelo adequado e testar o referido modelo.  

Pretende-se ainda que, sempre que possível, use resolução analítica e representação gráfica para o problema. Quando tal não for possível deverá ser capaz de utilizar o software Maxima para representação gráfica e simulação de soluções para o problema. 

Modo de trabalho

À distância

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos: Análise Real I, Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Laboratório de Matemática (ou disciplinas equivalentes).
Co-requisitos: Análise Real II.

Pré-requisitos: conhecimentos básicos de:
Cálculo Diferencial de funções reais de uma variável real; 
Álgebra Linear e Geometria Analítica: transformações lineares e afins, matrizes, determinantes;
linguagem de manipulação algébrica Maxima.

Co-requisitos: conhecimentos básicos de:
Cálculo Diferencial de funções reais de várias variáveis reais, curvas de nível.

Programa

1) Modelação matemática em tempo discreto com exemplos clássicos de aplicações: 

a) modelação unidimensional: sistema dinâmico discreto e sua variação, resolução do sistema dinâmico linear e afim; pontos fixos, diagrama e gráfico; modelos em Economia, Biologia, Ciências Sociais; 

b) modelação bidimensional e tridimensional: sistema dinâmico discreto e sua variação, resolução do sistema dinâmico no caso linear; pontos fixos, diagrama (em dimensão 2) e gráfico; modelos em Ecologia e Epidemiologia. 

2) Adaptação de um modelo a um conjunto de dados: transformação em um modelo afim, método gráfico e método dos mínimos quadrados para determinação de um modelo afim. 

3) Modelação matemática contínua com exemplos clássicos de aplicação: 

a) equação diferencial autónoma de 1ª ordem ou sistema dinâmico contínuo: resolução no caso linear, afim e quando é possível obter uma solução explícita; modelos em Farmácia, Física e Biologia; diagrama de fase de um sistema dinâmico contínuo: pontos de equilíbrio, intervalos de crescimento, concavidades; gráficos das soluções a partir do diagrama de fase. 

b) sistemas conservativos com um grau de liberdade, estabilidade de pontos de equilíbrio, diagrama de fase no plano, aplicações à Física.
Outros sistemas com integrais primeiros, modelo SIR para epidemias.

Bibliografia Obrigatória

Giordano Frank R.; A first course in mathematical modeling. ISBN: 978-0-495-55877-4

Bibliografia Complementar

Britton Nicholas F.; Essential mathematical biology. ISBN: 1-85233-536-X
Brauer Fred; Mathematical models in population biology and epidemiology. ISBN: 0-387-98902-1
Burghes D. N.; Modelling with differential equations. ISBN: 0-85312-286-5
Arnold V. I.; Equações diferenciais ordinárias
Fred Brauer; Mathematical models in population biology and epidemiology. ISBN: 0-387-98902-1

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Até 12 de março de 2020
Aulas teóricas com apresentação teórica da matéria e exemplos.
Propostas de problemas a serem resolvidos fora das aulas, e a serem tratados nas aulas teorico-práticas.
Aulas teorico-práticas avaliadas com: resolução de problemas concretos, utilização de computador e software adequado para a resolução de problemas em tempo útil. Discussão individual dos problemas resolvidos.

Adaptados para ensino à distância devido à epidemia covid19 após 12 de março

Textos disponíveis na plataforma moodle com apresentação teórica da matéria e exemplos.
Propostas na plataforma de problemas a serem resolvidos, com soluções apresentadas alguns dias depois.
Sessões de trabalhos práticos avaliadas à distância com: resolução de problemas concretos, utilização de computador e software adequado para a resolução de problemas em tempo predeterminado. Os trabalhos ocorrem em horários pré definidos e são avaliados em sessão de diálogo usando sistema de mensagens da plataforma.
Fórum na plataforma moodle sobre dúvidas.

Software

Maxima

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	55,00
Trabalho prático ou de projeto	45,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	104,00
Trabalho escrito	2,00
Apresentação/discussão de um trabalho científico	8,00
Trabalho laboratorial	48,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

(adaptada para ensino à distância devido à epidemia covid19)

Frequência a pelo menos 4 sessões TP através da plataforma moodle.
Realização correta e discussão adequada, nas aulas TP, dos trabalhos práticos de pelo menos 4 dos 6 módulos práticos.

Um trabalho prático para ser aprovado tem que estar completamente correto.

Novos trabalhos práticos de um módulo podem ser feitos tantas vezes quanto necessário para obter aprovação.

Cada estudante só precisa participar no número de trabalhos práticos que for necessário para obter aprovação nos trabalhos dos módulos.

Estudantes que tenham frequentado a unidade curricular no ano anterior poderão pedir dispensa dos trabalhos práticos já feitos.

Fórmula de cálculo da classificação final

(adaptada para ensino à distância devido à epidemia covid19)

1. A classificação final é a soma T+P das classificações obtidas em duas componentes parciais:
T - avaliação teórica: vale 11 valores, nota mínima 3.5 valores.
P - avaliação prática usando computador nas aulas TP: vale 9 valores (1.5 valor por trabalho prático correto e discutido).

2. A componente P só será avaliada durante o semestre letivo (ver exceção para estudantes trabalhadores abaixo).

3. A componente T é o resultado do exame feito através da plataforma moodle, que pode ser o da época normal ou o da época de recurso.

4. Exceção: se a soma nas componentes T e P for maior ou igual a 15 valores deverá ser realizada uma prova complementar oral por videoconferência, em data a combinar com os alunos. A classificação final poderá ter qualquer valor entre 15 e 20 valores e só dependerá do resultado da prova complementar. Em caso de falta à prova oral, a classificação final será de 15 valores.

 

 

 

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Estudantes que, por estatuto especial, estejam dispensados de frequência poderão fazer um exame prático em computador através da plataforma moodle na época de exames para obtenção da classificação P. 

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação para alunos que fizeram o exame na época normal será feita no exame de recurso, mantendo-se a classificação dos trabalhos práticos P.

Para alunos que fizeram a disciplina no ano anterior a melhoria será feita apenas no exame, mantendo-se a classificação dos trabalhos práticos do ano anterior.
Caso o estudante queira melhorar a classificação dos trabalhos práticos do ano anterior deverá se inscrever em uma turma prática para fazer os trabalhos práticos em falta.

Estudantes que tenham frequentado a unidade curricular no ano anterior, sem aprovação, poderão pedir dispensa dos trabalhos práticos já feitos.