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Grupos Quânticos

Código: M558     Sigla: M558

Áreas Científicas
Classificação Área Científica
OFICIAL Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 2S

Ativa? Sim
Página Web: http://www.fc.up.pt/mp/clomp/quantum/
Unidade Responsável: Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável: Doutoramento em Matemática - Interuniversitário

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla Nº de Estudantes Plano de Estudos Anos Curriculares Créditos UCN Créditos ECTS Horas de Contacto Horas Totais
IUD-M 7 PE do Prog Inter-Univ Dout Mat 1 - 9 60 243

Docência - Responsabilidades

Docente Responsabilidade
Christian Edgar Lomp Regente

Docência - Horas

Teórica: 4,00
Tipo Docente Turmas Horas
Teórica Totais 1 4,00
Christian Edgar Lomp 4,00

Língua de trabalho

Inglês

Objetivos

Quantum groups arose in theoretical physics as a tool to describe certain phenomena. In this course we intend to introduce the student to the algebraic aspect of quantum group theory through the study of noetherian rings, skew polynomial rings, Hopf algebras, deformations of enveloping algebras of Lie algebras and deformations of coordinate rings of Lie groups.

I will follow various notes and books. For the first part I will basically follow Kassel's book on Quantum group, while in the second part I will focus on finite dimensional Hopf algebras following Schneider's lecture notes.

Programa

1 Introduction
1.1 Vector spaces
1.1.1 Products and direct sums
1.1.2 Tensor product
1.1.3 Algebras and Modules
1.1.4 Free Algebra
1.1.5 The affine line and plane
1.2 Elementary algebraic geometry
1.2.1 Algebraic varieties
1.2.2 Hilbert’s Nullstellensatz
1.2.3 The coordinate ring of an algebraic variety
1.3 Algebraic Groups
1.3.1 The algebraic groups GLn and SLn
2 Hopf algebras
2.1 Coalgebras
2.2 Bialgebras
2.3 Hopf algebras
2.3.1 O(GL2 ) and O(SL2 ) as Hopf algebras
2.3.2 Commutative affine Hopf algebras and affine algebraic group shemes
2.3.3 Modules and Comodules
2.3.4 Comodule algebras
3 Quantum plane and quantized Coordinate rings
3.1 The quantum plane
3.1.1 Ore extensions
3.1.2 Noetherian rings
3.2 The Bialgebra Oq (M2 )
3.3 The Hopf algebras Oq (SL2 ) and Oq (GL2 )
3.4 Coaction on the quantum plane
4 Lie algebras
4.1 Enveloping algebras
4.1.1 Cartier’s theorem
4.2 The Lie algebras sl2
4.3 Representations of sl2
4.4 The Clebsch-Gordon Formula
4.5 Module-Algebras
4.5.1 Action of sl on the affine plane
4.6 Duality between U (sl) and O(SL2 )
5 The Quantum enveloping algebra
5.1 Definition of Uq (sl2 )
5.1.1 Relations to U (sl2 )
5.2 Representations of Uq (sl2 )
5.2.1 The Harish-Chandra Homomorphism
5.2.2 The centre of Uq (sl2 )
5.2.3 The root of unity case
5.3 Hopf algebra structure on Uq (sl2 )
5.3.1 Semisimplicity
5.3.2 Action of Uq (sl2 ) on the Quantum plane
5.3.3 Duality between Uq (sl2 ) and Oq (SL2 )
5.3.4 Quantum Clebsch-Gordon
5.4 General quantized enveloping algebras
6 Finite dimensional Hopf algebras
6.1 The fundamental Theorem for Hopf algebras
6.1.1 Integrals and coinvariants
6.1.2 Hopf modules
6.2 Character Theory for Hopf algebras
6.2.1 Frobenius algebras
6.2.2 The Larson and Radford Formula
6.2.3 Semisimplicity of Hopf algebras
6.3 A Lagrange Theorem for Hopf algebras
6.3.1 The Krull-Schmidt-Azumaya Theorem
6.4 Basic classification results
6.4.1 Zhou’s Theorem
6.4.2 Massouka’s Theorem

Bibliografia Obrigatória

000046420. ISBN: 0-387-94370-6
Hans-Jürgen Schneider; Lectures on Hopf algebras, Universidad Cordoba, Argentina, 1994 (http://www2.fc.up.pt/mp/clomp/quantum/lib/exe/fetch.php?media=schneider_lecturenoteshopfalgebras.pdf)

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Frontal instruction

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Álgebra
Ciências Físicas > Matemática > Geometria > Geometria algébrica

Tipo de avaliação

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