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Variedades Diferenciáveis

Código: M4074     Sigla: M4074

Áreas Científicas
Classificação Área Científica
OFICIAL Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 2S Ícone do Moodle

Ativa? Sim
Unidade Responsável: Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável: Mestrado em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla Nº de Estudantes Plano de Estudos Anos Curriculares Créditos UCN Créditos ECTS Horas de Contacto Horas Totais
M:M 11 Plano de Estudos do M:Matemática 1 - 9 63 243

Docência - Responsabilidades

Docente Responsabilidade
Peter Beier Gothen Regente

Docência - Horas

Teorico-Prática: 4,50
Tipo Docente Turmas Horas
Teorico-Prática Totais 1 4,50
Peter Beier Gothen 4,50

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

O objetivo da disciplina é introduzir a teoria básica das variedades diferenciáveis.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve

- dominar conceitos, métodos e resultados básicos da teoria das variedades diferenciáveis apreciando a respetiva generalização do cálculo no espaço euclidiano e a teoria das curvas e superfícies;

- ser capaz de analisar e resolver problemas no âmbito da a teoria das variedades diferenciáveis, utilizando os métodos e resultados que melhor se aplicam ao problema em estudo;

- ter preparação adequada para prosseguir estudos e investigação em áreas da matemática que integrem ou utilizem a teoria das variedades diferenciáveis.

- ser capaz de comunicar de forma eficiente as suas soluções de problemas e compreensão da matéria.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Álgebra linear. Cálculo de funções de várias variáveis. Elementos da topologia geral (desejável).

Programa





Funções diferenciáveis: Variedades diferenciáveis, espaço tangente. Derivada de funções entre variedades. Teorema da função inversa, formas locais das imersões e submersões. Fibrados tangente e cotangente. Campos de vetores e formas diferenciais de grau 1. O fluxo de um campo de vetores. Parêntesis de Lie. Teorema de Frobenius. Derivada de Lie. Grupos e álgebras de Lie. Álgebra exterior e formas diferenciais. Derivada exterior, Orientação de variedades. Integração de formas e Teorema de Stokes. Cohomologia de de Rham. Lema de Poincaré e invariância por homotopia. Sequência de Mayer-Vietoris. O grau de uma aplicação. Teorema de Poincaré-Hopf.





Bibliografia Obrigatória

Barden Dennis; An introduction to differential manifolds. ISBN: 1-86094-355-1
Lee John M.; Introduction to smooth manifolds. ISBN: 0-387-95448-1

Bibliografia Complementar

Frankel Theodore; The geometry of physics. ISBN: 978-0-521-53927-2
Hirsch Morris W.; Differential topology. ISBN: 0-387-90148-5
Madsen Ib; From calculus to cohomology. ISBN: 0-521-58956-8
Lee John M.; Riemannian manifolds. ISBN: 0-387-98271-X
Guillemin Victor; Differential topology. ISBN: 0-13-212605-2
Conlon Lawrence; Differentiable manifolds. ISBN: 0-8176-4134-3
Spivak Michael; A comprehensive introduction to differential geometry. ISBN: 0-914098-81-0 (Vol. 1, 2) (Vol. 1)
Lafontaine Jacques; An introduction to differential manifolds, Springer, 2015. ISBN: 978-3-319-20735-3 (Disponível em https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-20735-3)

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem





As horas de contacto consistem em aulas teórico-práticas, permitindo ao docente organizar e gerir o tempo disponível para a apresentação dos conteúdos, resolução de exercícios e problemas, ou recurso a outros métodos de ensino, tais como apresentações orais pelos estudantes de tópicos lecionados ou resoluções de problemas.





Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação Peso (%)
Exame 70,00
Trabalho escrito 30,00
Total: 100,00

Componentes de Ocupação

Designação Tempo (Horas)
Estudo autónomo 180,00
Frequência das aulas 63,00
Total: 243,00

Obtenção de frequência

Nota mínima global de 50% nos trabalhos de casa escritos. Não é obrigatório o cumprimento da assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

- Trabalhos de casa escritos: 30%
- Exame final: 70%

Os trabalhos de casa escritos não são objeto de avaliação de recurso.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Através de prova oral e/ou escrita.

Melhoria de classificação

No caso de melhoria do ano letivo 2018/2019, apenas o exame final é objeto de melhoria. Melhoria de nota do ano letivo anterior deve ser feita através da realização de todas as componentes da availação do ano letivo 2018/2019 (trabalhos de casa e exame final, normal ou de recurso).
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