Complementos de Geometria
Áreas Científicas |
Classificação |
Área Científica |
OFICIAL |
Matemática |
Ocorrência: 2017/2018 - 1S
Ciclos de Estudo/Cursos
Língua de trabalho
Português
Objetivos
Relacionar a geometria elementar e os seus desenvolvimentos "modernos" (geometria afim e geometria projectiva) com a linguagem da álgebra, em particular da álgebra linear.
Resultados de aprendizagem e competências
Ver ponto anterior.
Modo de trabalho
Presencial
Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)
- Álgebra Linear
- noções de geometria elementar
Programa
1) Geometria afim: coordenadas afins, transformações afins, estrutura abstracta de espaço afim, referenciais afins, razão de três pontos colineares, uso de métodos afins para obtençãio de resultados geométricos elementares.
2) Circunferências no plano euclidiano (abordadas através das equações cartesianas): potência de um ponto relativamente a uma circunferência, circunferências ortogonais, feixes de circunferências, inversão.
3) Rectas projectivas reais e homografias: transformações de Möbius; razão dupla de quatro números reais; razão dupla de quatro pontos colineares e de quatro rectas concorrentes no plano; divisão harmónica de quatro pontos; homografia entre duas rectas; homografia de uma recta em si mesma. Coordenadas homogéneas e homografias no plano projectivo real. As homografias do plano projectivo que deixam invariante a recta de infinito são precisamente as transformações afins de R^2.
4) Estudo elementar das cónicas no plano euclidiano: definição por foco e recta directriz; equação cartesiana; definição bifocal (cónicas com centro); secções planas de um cone de revolução (teorema de Dandelin); intersecção de uma cónica com uma recta; tangentes a uma cónica; propriedades particulares (em especial propriedades ópticas) das parábolas, elipses e hipérboles.
5) Cónicas no plano projectivo complexo: curvas algébricas de segundo grau; intersecção de uma cónica regular com uma recta; uma cónica não é regular (i.e., a matriz de uma sua equação tem determinante igual a zero) se e só se ela se decompuser em duas rectas (que podem ser coincidentes); pontos conjugados relativamente a uma cónica; recta polar de um ponto e pólo de uma recta; construção só com régua das tangentes a uma cónica (em particular, a uma circunferência) por um ponto dado. Cónica definida por cinco pontos. Teoremas de Pascal e Brianchon (sobre hexágonos inscritos ou circunscritos em cónicas).
Bibliografia Obrigatória
000052635. ISBN: 2-7056-6333-9
Métodos de ensino e atividades de aprendizagem
Aulas teóricas e práticas.
Tipo de avaliação
Avaliação por exame final
Componentes de Avaliação
Designação |
Peso (%) |
Exame |
100,00 |
Total: |
100,00 |
Fórmula de cálculo da classificação final
apenas exame